Modélisation du nombre d'habitants - Solution 2

1. Entre 2019 et 2023, quatre années se sont écoulées.

\(1~972-1~924=48\)  donc la baisse totale de la population sur ces quatre années a été de 48 habitants.

\(48 \div 4=12\)  

donc entre 2019 et 2023, la baisse annuelle de la population de ce village a été de 12 habitants .

2. a. En 2019, il y avait 1 972 habitants et, à partir de 2019, la population de ce village diminue de 12 habitants chaque année.

La suite  `(p_n)`  est donc une suite arithmétique de premier terme  \(p_0=1~972\)  et de raison  `r=-12` .

    b. Pour tout entier naturel  `n` ,  `p_n=p_0+nr`  soit   \(p_n=1~972-12n\) .

    c.  \(2~035=2~019+16\)  et \(p_{16}=1~972-12 \times 16=1~780\) .      En 2035, la population de ce village sera de 1 780 habitants.      
\(p_n<1~500 \iff 1~972-12n<1~500 \iff -12n<-472 \iff n>\dfrac{-472}{-12}\)

Or  \(\dfrac{-472}{-12} \approx 39{,}3\)  donc  \(p_n<1~500\)  à partir de  `n=40` .      
`2019+40=2059`

donc le nombre d'habitants de ce village sera inférieur à 1 500 à partir de l'année 2059 .